انواع دنباله:

در ریاضیات، یک دنباله (Sequence) یک گردآوری شمارا از اشیاء است که در آن تکرار مجاز و ترتیب مهم است. مشابه یک مجموعه، دنباله شامل چند عضو (یا جمله) است. تعداد اعضای یک دنباله (شاید نامتناهی) «طول دنباله» نامیده می‌شود. برخلاف یک مجموعه، در یک دنباله، عناصر مشابه می‌توانند چندین بار در محل‌های مختلف یک دنباله پدیدار شوند و ترتیب آن‌ها اهمیت دارد. به عنوان مثال، ⟨ ۵ , ۳ , ۳ , ۸ ⟩ یک دنباله است که به ترتیب از ۵ و ۳ و ۳ و ۸ تشکیل شده و با ⟨ ۵ , ۵ , ۳ , ۸ ⟩ یا ⟨ ۳ , ۵ , ۳ , ۸ ⟩ یکسان نیست. به مکانی که یک عضو در یک دنباله قرار دارد «اندیس»ِ آن عضو می‌گویند، به عنوان مثال ۸، چهارمین عضو دنبالهٔ فوق است پس اندیس آن، ۴ است. اندیس اوّلین عضو دنباله را معمولاً ۱ تعریف می‌کنند.

در نظریه تحلیلی اعداد، به دنباله‌ای که اعضای آن حقیقی یا مختلط باشند تابع حسابی یا دنبالهٔ حقیقی می‌گویند. در علوم رایانه، رشته دنباله‌ای از نویسه‌ ها است. دنباله فیبوناچی  و دنباله لوکاس نوع دیگری از رشد و تصاعد را نشان می دهند. بیاد آورید که در تصاعد حسابی، جمله بعدی از جمع  یک مقدار ثابت به جمله، کنونی  بدست می آید و در تصاعد هندسی، جمله بعدی از ضرب یک مقدار ثابت در جمله کنونی بدست می آید  و اما در دنباله فیبوناچی  و دنباله لوکاس  و امثال اینها، جمله بعدی از ضرب مقدار ثابت  ۱.۶۱۸۰۳۳۹۸۸ در جمله کنونی بدست می آید که  عددی اسرارآمیز است. بررسی این عدد شگفت انگیز صدها سال قبل از میلاد در هند و ۱۲۰۰ سال بعد از میلاد  توسط  فیبوناچی، شیربچه یِ پیزا در ایتالیا وارد ریاضیات شد و نسبت مقدس و نسبت طلائی نام گرفت.

دنباله  لوکاس:

فرض کنید فروشگاهی تاسیس می کنید که در روز اول ۱ تومان و در روز دوم ۳ تومان می فروشد ولی از آن پس، مقدار فروش هر روز باندازه مجموع فروش دو روز قبل از آن است. با چنین فرضیاتی فروش ما چگونه رشد می کند؟ …  ۱,۳,۴,۷,۱۱,۱۸,۲۹ این دنباله در ستون LS نشان داده شده و دنباله لوکاس نامیده می شود. در جدول مقابل، اولین ستون از سمت چپ روز را نشان می دهد و ستون LS میزان فروش روزها و ستون  Φ نسبت فروش روز به فروش روز قبل و ستون φ نسبت فروش روز به فروش روز بعد است. چنانکه دیده می شود  Φ و φ  بسوی  مقدار ثابت  ۱.۶۱۸۰۳۳۹۸۸ و ۰.۶۱۸۰۳۳۹۸۸ میل می کنند. این دو مقدار را نسبت فیبوناچی یا نسبت طلائی یا نسبت مقدس نامیده اند.

دنباله فیبوناچی:

روش بدست آوردن دنباله فیبوناچی نیز مانند دنباله  لوکاس است با این تفاوت که مقدار فروش روز اول و دوم بترتیب ۰ و ۱ می باشد.  فی الواقع  دو مقدار اولیه می توانند هر عددی باشند بشرطی که مجموعشان صفر نباشد. بین   Φ و φ این رابطه بر قرار است: Φ  – φ  =  ۱ . کل هر چیزی را و مثلا پاره خط بالا را ‌چگونه به دو بخش کوچک (b) و بزرگ (a) تقسیم می کنید که نسبت بخش کوچک به بخش بزرگ برابر باشد با نسبت بخش بزرگ به کل هر دو بخش؟ این مساله را می توانید به بیان ریاضی برگردانید:بخش کوچکتر را برابر با ۱ و بخش بزرگتر را برابر با x می گیریم. در اینصورت : نسبت مقدس از فرمولی با کسرهای متداوم و رادیکال های تودرتو  و توابع مثلثاتی هم بدست می آید.